Онлайн школа «алгоритм»

Алгоритм[править]

Пусть дана сеть. Требуется найти в этой сети поток из в максимальной величины.

Схема алгоритмаправить

  1. Для каждого ребра данной сети зададим .
  2. Построим вспомогательную сеть из дополняющей сети данного графа . Если , остановиться и вывести .
  3. Найдём блокирующий поток в .
  4. Дополним поток найденным потоком и перейдём к шагу 2.

Корректность алгоритмаправить

Покажем, что если алгоритм завершается, то на выходе у него получается поток именно максимальной величины.

В самом деле, предположим, что в какой-то момент во вспомогательной сети, построенной для остаточной сети, не удалось найти блокирующий поток. Это означает, что сток вообще не достижим во вспомогательной сети из истока. Но поскольку она содержит в себе все кратчайшие пути из истока в остаточной сети, это в свою очередь означает, что в остаточной сети нет пути из истока в сток. Следовательно, применяя теорему Форда-Фалкерсона, получаем, что текущий поток в самом деле максимален.

Асимптотика алгоритмаправить

Теорема:
Расстояние между истоком и стоком строго увеличивается после каждой фазы алгоритма, т.е. , где — значение, полученное на следующей фазе алгоритма.
Доказательство:
Проведём доказательство от противного. Пусть длина кратчайшего пути из истока в сток останется неизменной после очередной фазы алгоритма. Вспомогательная сеть строится по остаточной. Из предположения следует, что в остаточной сети будут содержаться только рёбра остаточной сети перед выполнением данной фазы, либо обратные к ним. Из этого получаем, что нашёлся путь, который не содержит насыщенных рёбер и имеет ту же длину, что и кратчайший путь. Но этот путь должен был быть «заблокирован» блокирующим потоком, чего не произошло. Получили противоречие. Значит длина изменилась.

Поскольку длина кратчайшего пути не может превосходить , то, следовательно, алгоритм Диница совершает не более фазы.
Таким образом, в зависимости от того, каким алгоритмом нахождения блокирующего потока мы пользовались, весь алгоритм Диница может выполняться за или за . Также возможно достичь асимптотики , если использовать динамические деревья Слетора и Тарьяна.

4. Шведский стол

Столовая в «Алгоритме успеха» работает по системе шведский стол. Это значит, что ученики могут сами выбрать, что они хотят съесть сегодня: в мясной день, к примеру, им предложат сразу три блюда из мяса, приготовленные разными методами (варёное, тушёное, котлета). Три разных блюда – в рыбный день. И так каждый день.

В школе постоянно экспериментируют с меню и корректируют его с нового учебного года. Повара гордятся тем, что научили ребят есть молочные каши на завтрак и даже брокколи, к которым поначалу дети были абсолютно равнодушны.

Столовая вмещает 380 детей, поэтому едят они по расписанию: пока обедают 2–5-е классы, остальные гуляют на улице. И наоборот. 40-минутная прогулка каждый день – обязательная часть школьного дня.

Что такое графовые нейронные сети

Графовые сети — это способ применения классических моделей нейронных сетей к графовым данным. Графы, не обладая регулярной структурой как изображения (каждый пиксель имеет 8 соседей) или тексты (последовательность слов), долгое время оставались вне поля зрения классических нейронных моделей, которые получили широкое распространение в области машинного обучения и искусственного интеллекта. Большинство моделей векторизации графов (построения векторного представления вершин в графе) были достаточно медленными и использовали алгоритмы на основе матричной факторизации или спектральной декомпозиции графа. В 2015-16 годах появились более эффективные модели (DeepWalk, Line, Node2vec, Hope) на основе случайных блужданий. Однако и они имели ограничения, потому что никак не затрагивали при построении векторной модели графа дополнительных признаков, которые могут храниться в вершинах или на ребрах. Появление графовых нейронных сетей стало логичным продолжением исследований в области графовых эмбеддингов и позволило унифицировать под единым фреймворком предыдущие подходы.

Создание онлайн школы с нуля в 2021 году

Онлайн–школа – это и есть инфобизнес (информакетинг), более автоматизированный, а также по-новому упакованный. Причем речь идет об информационном бизнесе, с помощью которого удается получать прибыль на продаже информации. Более того, его преимуществом является отсутствие расходов на аренду помещения, оплату штатным педагогам и пр.

По прогнозам аналитиков, весь рынок электронного образования превысит $300 млрдов к 2025 году. Никогда еще не было лучшего времени, чтобы присоединиться к растущей индустрии обучения на удаленке.

Пошаговый алгоритм создания онлайн-школы «под ключ»:

Определитесь с темой

Обратите внимание на важные моменты: экспертность, наличие знаний, а также навыков для решения каких-либо проблем. После того, разработайте уникальный продукт.
Рассчитайте потенциальную прибыль

Для этого можно сделать небольшой тест и проверить, сколько человек заинтересуется тематикой.
Проведите исследование предмета и распланируйте занятия. Стоит отметить, что это самый важный этап. Более того, необходимо выдавать организованную информацию, которая отсутствует в других источниках.
Напишите цели и задачи. Разумеется, они должны быть четко сформулированы на этапе планирования. Прежде всего, такой подход позволит адекватно организовать материал и установить логическую последовательность этапов.
Выберите свои методы. Предоставляйте информацию привлекательным, эффективным и действенным способом. Помимо этого, всегда должен быть разработан учебный план. Позвольте учащимся применять теорию на практике. Используйте викторины, задания, чтобы сделать пассивных учащихся активными.
Создайте контент. Материал должен быть основан на запланированных мероприятиях. Впрочем, опытные тренеры и преподаватели могут легко создавать материал с нуля. Но лучший подход к запуску – это перепрофилирование старого контента.
Упакуйте продукт. Оформление контента для конечного потребителя лучше представить в виде формата отдельного сайта или лэндинга.

Перед тем, как откроется онлайн–школа с нуля, составьте свой производственный график. Процесс создания пройдет более гладко, если следовать определенному плану.

Безусловно, учебный материал рекомендуется представить видеоуроками, текстовым контентом или подкастами. А также Вам понадобится программное обеспечение для видеозаписи и презентации. Например: Camtasia, Screencast-O-Matic, Audacity, Filmora или Adobe Premiere.

Шаг 1 – Выбор способа заработка онлайн-школы

Основные виды заработка на удаленном обучении, к примеру:

  1. Репетиторство (500-1500 руб./час). Плюсы – отличная прибавка к основной зарплате при ведении 2-3 учеников.
  2. Мастер-классы и вебинары (10-50 000 руб.). Кстати, имеется возможность неоднократного их проведения и построения личного бренда.
  3. Курсы (прибыль не ограничена). Несомненно, на курсах одновременно можно обучать нескольким программам.
  4. Тренинги (300-600 000 руб.). Использование только web-инструментов для усвоения новых знаний и отработки практических навыков.
  5. Коммьюнити (100 000 руб.). Итак, здесь организуется доступ к диалогу или чату с ценным материалом на протяжении определенного времени. Более того постоянно проводятся тематические эфиры. Участники делятся собственными наработками, а также опытом под руководством создателей.

Шаг 2 – Выбор формата обучения в онлайн-школе

Прежде чем, откроется Ваша онлайн-школа, следует определиться с основными форматами:

Мастер-класс

Коучинг

МООК (массовый открытый онлайн-курс)

Корпоративные курсы

Эндоморфизм Фробениуса

Учитывая эллиптическую кривую , определенную над мы рассмотрим точки на более , на алгебраическое замыкание в ; т.е. мы допускаем точки с координатами в . Эндоморфизм Фробениуса из за кадром распространяется на эллиптической кривой путем .
E{\ displaystyle E}Fq{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}E{\ displaystyle E}F¯q{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {F}}} _ {q}}Fq{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}F¯q{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {F}}} _ {q}}F¯q{\ displaystyle {\ bar {\ mathbb {F}}} _ {q}}Fq{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}ϕ(Икс,y)↦(Иксq,yq){\ Displaystyle \ фи: (х, у) \ mapsto (х ^ {q}, у ^ {q})}

Эта карта является тождеством, и ее можно расширить до бесконечно удаленной точки , превратив ее в групповой морфизм из самой себя.
E(Fq){\ Displaystyle Е (\ mathbb {F} _ {q})}О{\ displaystyle O}E(Fq¯){\ displaystyle E ({\ bar {\ mathbb {F} _ {q}}})}

Эндоморфизм Фробениуса удовлетворяет квадратичному многочлену, который связан с мощностью в следующей теореме:
E(Fq){\ Displaystyle Е (\ mathbb {F} _ {q})}

Теорема: эндоморфизм Фробениуса, задаваемый формулой, удовлетворяет характеристическому уравнению
ϕ{\ displaystyle \ phi}

ϕ2-тϕ+qзнак равно,{\ Displaystyle \ phi ^ {2} -t \ phi + q = 0,} где тзнак равноq+1-#E(Fq){\ displaystyle t = q + 1 — \ # E (\ mathbb {F} _ {q})}

Таким образом, мы имеем для всего этого , где + обозначает сложение на эллиптической кривой, а и
обозначает скалярное умножение на и на .
пзнак равно(Икс,y)∈E{\ displaystyle P = (x, y) \ in E}(Иксq2,yq2)+q(Икс,y)знак равнот(Иксq,yq){\ displaystyle (x ^ {q ^ {2}}, y ^ {q ^ {2}}) + q (x, y) = t (x ^ {q}, y ^ {q})}q(Икс,y){\ Displaystyle д (х, у)}т(Иксq,yq){\ Displaystyle т (х ^ {д}, у ^ {д})}(Икс,y){\ Displaystyle (х, у)}q{\ displaystyle q}(Иксq,yq){\ displaystyle (х ^ {q}, y ^ {q})}т{\ displaystyle t}

Можно было бы попытаться символически вычислить эти точки , и как функции в из
и затем искать значение , которое удовлетворяет уравнению. Однако степени становятся очень большими, и такой подход непрактичен.
(Иксq2,yq2){\ Displaystyle (х ^ {д ^ {2}}, у ^ {д ^ {2}})}(Иксq,yq){\ displaystyle (х ^ {q}, y ^ {q})}q(Икс,y){\ Displaystyle д (х, у)} FqИкс,y(y2-Икс3-АИкс-B){\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q} / (y ^ {2} -x ^ {3} -Ax-B)}E{\ displaystyle E}т{\ displaystyle t}

Идея Шуфа заключалась в том, чтобы выполнить это вычисление, ограничиваясь точками порядка для различных малых простых чисел . Фиксируя нечетное простое число , мы переходим к решению проблемы определения , определенного как , для данного простого числа . Если точка входит в подгруппу — кручения , то где — единственное целое число такое, что и

Обратите внимание, что и для любого целого числа у нас есть. Таким образом будет тот же порядок, что и

Таким образом, для принадлежности к , мы также имеем if . Таким образом, мы свели нашу задачу к решению уравнения
л{\ displaystyle l}л{\ displaystyle l}л{\ displaystyle l}тл{\ displaystyle t_ {l}}т(модл){\ Displaystyle т {\ pmod {l}}}л≠2,п{\ displaystyle l \ neq 2, p}(Икс,y){\ Displaystyle (х, у)}л{\ displaystyle l} Eлзнак равно{п∈E(Fq¯)∣лпзнак равноО}{\ displaystyle E = \ {P \ in E ({\ bar {\ mathbb {F} _ {q}}}) \ mid lP = O \}}qпзнак равноq¯п{\ displaystyle qP = {\ bar {q}} P}q¯{\ displaystyle {\ bar {q}}}q≡q¯(модл){\ Displaystyle д \ экв {\ бар {д}} {\ pmod {l}}}∣q¯∣

(Иксq2,yq2)+q¯(Икс,y)≡т¯(Иксq,yq),{\ displaystyle (x ^ {q ^ {2}}, y ^ {q ^ {2}}) + {\ bar {q}} (x, y) \ Equiv {\ bar {t}} (x ^ { q}, y ^ {q}),}

где и имеют целочисленные значения в .
т¯{\ displaystyle {\ bar {t}}}q¯{\ displaystyle {\ bar {q}}}-(л-1)2,(л-1)2{\ Displaystyle [- (l-1) / 2, (l-1) / 2]}

Программа курса

  1. Оценка времени работы алгоритмов
  2. Алгоритмы сортировки, основанные на сравнении (сортировка слиянием, быстрая сортировка, нижняя оценка на время работы алгоритмов сортировки)
  3. Алгоритмы сортировки с линейным временем выполнения (сортировка подсчетом, цифровая сортировка, карманная сортировка)
  4. Элементарные структуры данных (стек, очередь, связанные списки)
  5. Алгоритмы, основанные на двоичной куче (сортировка кучей, очередь с приоритетами)
  6. Введение в алгоритмы поиска (двоичный поиск в отсортированном массиве, двоичное дерево поиска)
  7. Сбалансированные деревья поиска (обзор сбалансированных деревьев, АВЛ-дерево, Splay-дерево)
  8. Хеширование (хеш-таблицы с закрытой и открытой адресацией)
  9. Введение в поиск подстрок (простейший алгоритм поиска подстрок, алгоритм Рабина-Карпа)
  10. Поиск подстрок (алгоритм Кнута-Морриса-Пратта, Z-функция, алгоритм Бойера-Мура)

Каждая тема предполагает изучение в течение одной недели. На каждой неделе выдаются задания по программированию, предполагающие самостоятельную реализацию изучаемых в курсе алгоритмов и структур данных.

В курсе имеется два типа дедлайна (предельного срока выполнения оценивающих мероприятий):
– мягкий дедлайн, при котором необходимо выполнить все оценивающие мероприятия текущей недели до ее завершения;
– жесткий дедлайн, при котором на выполнение оценивающих мероприятий после мягкого дедлайна дополнительно выделяется еще две недели, по окончании которых доступ к соответствующим мероприятиям закрывается.

Описание[править]

Пусть — состояние автомата .

Определение:
Правым языком (англ. right language) называется язык , распознаваемый автоматом , в котором является уникальным начальным состоянием.
Определение:
Левым языком (англ. left language) называется язык , распознаваемый автоматом , в котором является уникальным терминальным состоянием.

Таким образом, допустимые слова языка , проходящие через состояние , фактически разделяются на два языка, а соединение соответствующих слов этих языков по всем состояниям даст исходный язык .
Рассмотрим слово из левого языка . Тогда множество слов — правый контекст слова в языке . Аналогично для правого языка и левого контекста.

Утверждение (1):
Автомат является детерминированным тогда и только тогда, когда левые языки его состояний попарно не пересекаются.
Рассмотрим состояния и () в ДКА. Пусть левые языки этих состояний пересекаются, то есть .По окончании процесса допуска слова мы оказываемся в состоянии или . Следовательно, из какого-то состояния на пути в терминальное существует несколько различных переходов по одному из символов , а значит — НКА. Получаем противоречие.
Определение:
Обратное слово (англ. reverse of the word) для слова определяется следующим образом: и если , тогда , где .
Определение:
Обратный язык (англ. reverse of the language) для языка — язык .
Определение:
Обратный автомат (англ. reverse of the automaton) для автомата — автомат , полученный из сменой местами начальных и конечных состояний и сменой направлений переходов.
Утверждение (2):
Если распознает язык , то распознает .
Утверждение (3):
Если левый язык состояния в — , тогда его левый язык в — . Аналогично для правого языка .

Пусть — НКА.Тогда детерминированный автомат определяется следующим образом:

  • Детерминированному состоянию соответствует множество недетерминированных состояний: для каждого имеем ,
  • Начальное состояние в — множество из начальных состояний автомата ,
  • Состояние в детерминированном автомате является терминальным тогда и только тогда, когда оно содержится хотя бы в одном недетерминированном состоянии,
  • Пусть — состояние детерминированного автомата и – символ из . Если переход из по символу определен, тогда, по построению: .
Утверждение (4):
Правый язык состояния эквивалентен объединению правых языков состояний автомата , принадлежащих множеству .
Определение:
Левое отношение (англ. left quotient) регулярного языка для слова из — язык .

Минимальный автомат для регулярного языка определяется следующим образом:

  • множество состояний — это множество левых отношений языка ,
  • начальное состояние — ,
  • терминальные состояния — множество отношений, содержащих пустое слово,
  • функция перехода .

Автомат уникален с точностью до изоморфизма и имеет минимальное количество состояний.

Утверждение (5):
Детерминированный автомат минимален тогда и только тогда, когда правые языки его состояний различны и все состояния достижимы.

Рассмотрим состояния и () в ДКА. Пусть их правые языки . Тогда состояния и можно объединить в одно.

Если состояние недостижимо из начального состояния , то его можно удалить из автомата — это никак не повлияет на язык .

Music2Dance: как мы пытались научиться танцевать

Всем привет! Меня зовут Владислав Мосин, я учусь на 4-м курсе бакалаврской программы “Прикладная математика и информатика” в Питерской Вышке. Прошлым летом вместе с Алиной Плешковой, магистранткой нашего факультета, я проходил стажировку в JetBrains Research. Мы работали над проектом Music2Dance, цель которого — научиться генерировать танцевальные движения, подходящие под заданную музыку. Это может быть использовано, например, при самостоятельном обучении танцам: услышал музыку, запустил приложение, и оно показало движения, которые гармонично с этой музыкой сочетаются.

Забегая вперед скажу, что наши результаты, к сожалению, оказались далеки от лучших моделей генерации движений, которые сейчас существуют. Но если вам тоже интересно поразбираться в этой задаче, приглашаю под кат. 

Ссылки

  • Главная страница и теория работы (GitLab GPL): Проект «Общая теория алгоритмов»
  • Вводная статья работы «Разрабатываем теорию алгоритмов как проект с открытым исходным кодом». Пожалуйста, не судите строго эту наивную публикацию «сверх-идеи» устаревшей версии 2019 года.
  • Статьи серии «Что такое алгоритм?!»
    • №1 «Действие» (текущая)
    • №2 «Обусловленная и связная последовательность»
    • №3 «Синтез алгоритма запоминанием»
    • №3.1 «Эволюция памяти»
    • №3.14 «Копирование иерархии памяти»
    • №5 «Эволюция поведения»
    • №4 «Математика»
    • №4.0 «Физика»
  • Статьи в хабе «Программирование»:
    • Детская сказка программисту на ночь
    • Эволюция программного проекта и ООП
    • Как не понимать принципы развития архитектуры SOLID
  • Все рисунки к статье (кроме заглавного) сформированы сообществом Wikipedia. Лицензия (Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International)

Motion Amplification или диагностика состояния промышленного оборудования и сооружений с помощью видеоаналитики

Из песочницы

Прямых доказательств, связывающих рождение технологии Motion Amplification с силовыми ведомствами США, у нас нет, но косвенных достаточно. Неслучайно среди примеров использования есть немало кейсов из аэрокосмической и оборонной отраслей. Измерение уровня вибрации вертолета во время полета – важная, но очень непростая задача. С Motion Amplification она решается довольно быстро и просто.

Не менее важно знать и состояние инфраструктурных объектов и промышленных активов — оборудования, резервуаров, трубопроводов и т.д. Как можно оперативно оценить состояние моста, чтобы гарантировать безопасное перемещение техники по нему? Оказалось, что без инноваций решить эту задачу проблематично

Является ли жадный алгоритм лучшим? Жадность всегда работает?

То что оптимально на локальном уровне, иногда не оптимально на глобальном уровне. В алгоритме подсчете сдачи мы можем определить точку, в которой он не является лучшим в глобальном масштабе.

Допустим у нас есть условие:

пусть у нас будет монеты трех номиналов .

И нас попросим выдать сдачу в 30 пенсов. Теперь посмотрим, что вернет наш алгоритм.

То есть он выбирает 1x25p и 5x1p. Хотя лучшим решением будет — 2х15р.

Наш алгоритм потерпел неудачу, потому что он вообще не смотрел на 15p. Он первым делом посмотрел на 25р и подумал: «Да, это подходит. Давайте возьмем это».

Затем он посмотрел на 15p и подумал, что «это не подходит, давайте двигаться дальше» (так как 25 + 15 > 30).

Это пример того, где жадные алгоритмы не лучший выбор.

Чтобы обойти это, вам нужно будет либо создать валюту, где это не работает, либо использовать перебор решений. Или используйте динамическое программирование.

Но жадные алгоритмы иногда могут быть лучшими на глобальном уровне то есть глобально оптимальными . Ранее мы видели, что эти алгоритмы глобально оптимальны:

  • Dijkstra’s Algorithm
  • Kruskal’s algorithm
  • Prim’s algorithm
  • Huffman trees

Существуют и другие глобально оптимальные решения, но жадные алгоритмы быстрее и проще в программировании, чем другие решения.

Алгоритм Дейкстры

Алгоритм Дейкстры находит кратчайший путь от узла ко всем остальным узлам графа. В нашем примере мы будем использовать взвешенный ориентированный граф. У каждого ребра есть направление, и у каждого ребра есть вес.

Алгоритм Дейкстры имеет много применений. Он может быть очень полезен в дорожных сетях, где вам нужно найти самый быстрый маршрут к месту. Алгоритм также используется для:

  • IP Routing
  • A* Algorithm
  • Telephone networks

Алгоритм следует следующим правилам:

  1. Каждый раз, когда мы хотим посетить новый узел, мы выберем узел с наименьшим известным расстоянием.
  2. Как только мы переместились в узел, мы проверяем каждый из соседних узлов. Мы вычисляем расстояние от соседних узлов до корневых узлов, суммируя стоимость ребер, которые ведут к этому новому узлу.
  3. Если расстояние до узла меньше известного расстояния, мы обновим самое короткое расстояние.

Наш первый шаг — выбрать начальный узел. Давайте выберем A. Все расстояния назначаются равными бесконечности, так как мы пока не знаем их расстояния, пока не достигнем узла, который знает расстояние.

Мы отмечаем A в нашем списке не посещенных узлов. Расстояние от A до A равно 0. Расстояние от A до B равно 4. Расстояние от A до C равно 2. Наш список расстояний с правой стороны рисунка.

Затем мы выбираем наименьшее ребро, где вершина не была выбрана. Наименьшее ребро A ->C, и мы еще не выбрали C. Далее мы посещаем С.

Обратите внимание, как мы выбираем наименьшее расстояние от нашего текущего узла до узла, который мы еще не посетили. Мы жадные

В этом случае жадный метод является глобальным оптимальным решением.

Мы можем добраться до B из C. Теперь нам нужно выбрать минимум. min(4, 2 + 1) = 3.

Поскольку A->C->B меньше, чем A->B, мы обновляем B этой информацией. Затем мы добавляем расстояния от других узлов, которые теперь можем достичь.

Наша следующая наименьшая вершина с узлом, который мы еще не посетили, это B, с 3. Мы посещаем B.

Мы делаем то же самое для B. Затем мы выбираем самую маленькую вершину, которую мы еще не посетили, D.

На этот раз мы не обновляем расстояния. Наш последний узел тогда E.

Там нет обновлений снова. Чтобы найти кратчайший путь от A до других узлов, мы пройдемся по нашему графику.

Сначала мы выбираем A, затем C, а затем B. Если вам нужно создать кратчайший путь от A до каждого другого узла в виде графика, вы можете запустить этот алгоритм, используя таблицу с правой стороны.

Используя эту таблицу легко нарисовать кратчайшее расстояние от A до каждого другого узла на графике:

Принципы успешной работы школы

Залог успешной работы школы заключается в правильном подборе персонала и выборе качественной программы обучения. Мы 25 лет в сфере образования. Педагогический состав включает профессиональных учителей-кураторов с высоким уровнем подготовки. Это авторы учебных пособий, кандидаты наук, эксперты в области подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Наши специалисты – высококвалифицированные работники которые:

  • разбираются в особенностях российской и британской систем обучения;
  • имеют знания об академических квалификациях России и Британии;
  • имеют представление о международных и отечественных системах оценивания;
  • понимают суть экзаменационных требований;
  • занимаются непрерывным совершенствованием учебного процесса;
  • имеют богатый опыт подготовки учеников к экзаменам ОГЭ и ЕГЭ на высокий балл;
  • гарантированно готовят к блестящим результатам по экзаменам формата GCSE и A-Level.

Улучшения алгоритма Шуфа

В 1990-х годах Ноам Элкис , а затем AOL Atkin , разработали улучшения базового алгоритма Шуфа, ограничив набор простых чисел, рассмотренных ранее, простыми числами определенного типа. Они стали называться простыми числами Элкиса и Аткина соответственно. Простое число называется простым числом Элкиса, если характеристическое уравнение: распадается , а простое число Аткина — это простое число, которое не является простым числом Элкиса. Аткин показал, как объединить информацию, полученную из простых чисел Аткина, с информацией, полученной из простых чисел Элкиса, для создания эффективного алгоритма, который стал известен как алгоритм Шуфа – Элкиса – Аткина . Первая проблема, которую необходимо решить, — определить, является ли данное простое число Элкисом или Аткином. Для этого мы используем модульные многочлены, которые появились в результате изучения модулярных форм и интерпретации как решеток. Как только мы определили, в каком случае мы находимся, вместо использования полиномов деления мы можем работать с полиномом, который имеет более низкую степень, чем соответствующий полином деления: а не . Для эффективной реализации используются вероятностные алгоритмы поиска корней, что делает его алгоритмом Лас-Вегаса, а не детерминированным алгоритмом. При эвристическом предположении, что примерно половина простых чисел до границы являются простыми числами Элкиса, это дает алгоритм, более эффективный, чем алгоритм Шуфа, с ожидаемым временем работы с использованием наивной арифметики и с использованием быстрой арифметики. Хотя известно, что это эвристическое предположение справедливо для большинства эллиптических кривых, известно, что оно верно не во всех случаях, даже при использовании GRH .
Sзнак равно{л1,…,лs}{\ Displaystyle S = \ {l_ {1}, \ ldots, l_ {s} \}}л{\ displaystyle l}ϕ2-тϕ+qзнак равно{\ Displaystyle \ phi ^ {2} -t \ phi + q = 0}Fл{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {l}}О(л){\ Displaystyle О (л)}О(л2){\ Displaystyle О (л ^ {2})}О(журнал⁡q){\ Displaystyle О (\ журнал q)}О(журнал6⁡q){\ Displaystyle О (\ журнал ^ {6} q)}О~(журнал4⁡q){\ Displaystyle {\ тильда {O}} (\ log ^ {4} q)}

Выводы

Соберём всё, что мы отметили рассматривая разные примеры «действия»:

  • «действие» можно использовать для создания алгоритма;
  • «действие» может быть элементарным;
  • «действие» может быть реализовано алгоритмом;
  • в «действии» обязательно участвует некоторый объект или группа объектов;
  • для группы объектов «действие» происходит только тогда, когда эти объекты «достаточно близко»;
  • в действии изменяются связи и параметры объектов (включая параметры их движения);
  • «действие» всегда и обязательно должно быть повторимо.

Признак Повторимости помогает нам в создании наших алгоритмов. С его использованием мы из всех процессов выделяем те, что являются «действием» и на их основе создаём новые алгоритмы. Более того этот признак достаточно прост и на основе его формализации можно снизить требования к системе обнаруживающей и создающей «действия» и поручить это нашему компьютеру.

Следующая статья серии (Часть 2) будет посвящена рассмотрению способов, с использованием которых «действия» могут быть сгруппированы в алгоритм. Этих способов достаточно много и есть предпосылки, что их описание не получится уместить в одну статью. Напишем — увидим.

Спасибо Вам за внимание

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector