Егэ по математике

Молекулярная физика и термодинамика

Молекулярная физика

Средняя кинетическая энергия молекул	`bar E_к=3/2kT`	Здесь и далее рассматриваем только идеальный одноатомный газ
Давление газа:	`p=nkT`
Уравнение Менделеева-Клайперона:	`pV=nuRT`
Количество вещества в молях:	`nu=m/M=N/N_A`	M — молярная масса, берём её из таблицы Менделеева, не забываем переводить в кг/моль
Внутренняя энергия:	`U=3/2nuRT`
Закон Дальтона для смеси:	`p=p_1+p_2+…`
Относительная влажность:	`varphi=p_(парц)/p_(насыщ)=rho_(парц)/rho_(насыщ)`	См. также таблицу давления и плотности насыщенного водяного пара
Уравнение теплобаланса:	`Q_1+Q_2+Q_3+…=0`	`Q>0` в процессах, где теплота выделяется, и `Q

Термодинамика

`Q=cmDeltaT`	где `с` — удельная теплоёмкость
`Q=lambdam`	где `lambda` — удельная теплота плавления
`Q=rm`	где `r` — удельная теплота парообразования
`Q=qm`	где `q` — удельная теплота сгорания

Первое начало термодинамики:	`Q=DeltaU+A`
Работа газа в любом термодинамическом процессе — это площадь под pV-графиком		`A=int_1^2pdV`(формулу запоминать не обязательно)
Работа в изобарном процессе:	`A=p*DeltaV`
Работа газа всегда связана с изменением объёма:	`Vuarr rArr A>0«Vdarr rArr A`V=const rArr A=0`
Работа внешних сил над газом:	`A_(внеш.сил)=-A_(газа)`
КПД:	`eta=A_(цикл)/Q_н=(Q_н-Q_х)/Q_н`
Машина Карно:	`eta=(T_н-T_х)/T_н`

Особенности уровней ЕГЭ по математике

В 2015 году ЕГЭ по математике разделили на базовый и профильный уровни. Это упростило жизнь выпускникам, которые не планируют поступать на специальности, связанные с математикой. Если ЕГЭ по математике нужен только для получения аттестата, можно сдать его облегченную версию, оставив время и силы для профильных экзаменов.

Базовый уровень ЕГЭ по математике

Как устроен базовый ЕГЭ по математике? Экзамен идет 180 минут, он состоит из 21 задания, за каждое из которых можно получить 1 балл. Этот экзамен единственный, который переводится не в 100-бальную систему, а в оценки.

Пока перевод баллов ЕГЭ по математике базового уровня в оценки не опубликован ФИПИ, но мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.

В ЕГЭ по математике базового уровня 6 тематических блоков:

Тематические блоки, ЕГЭ по математике 2022, базовый уровень

Подробнее про базовый ЕГЭ по математике, включая разбор всех заданий, читайте здесь, а мы перейдём к профильному.

Профильный уровень ЕГЭ по математике

Данный экзамен, как и остальные ЕГЭ, переводится в 100-бальную систему.

Пока перевод баллов ЕГЭ по математике профильного уровня в 100-бальную систему пока не опубликован ФИПИ. Мы добавим его в статью, как только появится официальная информация.

Экзамен состоит из двух частей: Часть 1 с кратким ответом, а Часть 2 — с развернутым. Длится он 235 минут. Всего есть 18 заданий, которые разделены на 3 блока: алгебра, геометрия и реальная математика. Максимальное количество первичных баллов — 31.

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ \{\table \cos (t)=a; \0≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения $сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

$сos{2πx}/{3}=-{√3}/{2}$

${2πx}/{3}=±arccos⁡(-{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-arccos{√3}/{2})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±(π-{π}/{6})+2πk;kϵZ$

${2πx}/{3}=±{5π}/{6} +2πk;kϵZ$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на ${2π}/{3}$

$x=±{5π·3}/{6·2π} +{2π·3}/{2π}k$

$x=±1,25+3k$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения

$k=0$

$x_1= -1,25$

$x_2=1,25$

$к=1$

$х_1=3-1,25=1,75$

$х_2=3+1,25=4,25$

Нам подходит $1,25$ – это и есть результат

Ответ: $1,25$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ \{\table \sint=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ \{\table \tgt=a; \-{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Задача №17, экономическая

Стандартное начало условия:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на `color(green)(r%)`.
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Основная идея решения:

1. каждый месяц (15-го числа) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину, т.е. на `1/n` часть изначального долга, т.е. на `color(blue)(S/n)`
2. каждый месяц (1-го числа) банк увеличивает остаток долга на `color(green)(r%)`.
3. каждый месяц (2-14-го числа) клиент выплачивает начисленные проценты (пункт 2) и ежемесячную часть долга (пункт 1).

Составляем таблицу платежей по месяцам:

Взятие кредита:
15 декабря:	Долг = `S` рублей.
1-й месяц:
1 января	Банк начисляет проценты = `color(green)(S*r)`
	Долг = `S + color(green)(S*r)`
2-14 января	Платим `color(green)(S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = « `– [ color(green)(S*r) + color(blue)(S/n) ] = S-color(blue)(S/n) = (n-1)/n*S`
2-й месяц:
1 февраля	Банк начисляет проценты = `color(green)(obrace((n-1)/n*S)^(«Предыд.долг»)*r)`
	Долг = `(n-1)/n*S+` `color(green)((n-1)/n*S*r)`
2-14 февраля	Платим `color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)`
	Долг = `[(n-1)/n*S +` `color(green)((n-1)/n*S*r)]–` `[color(green)((n-1)/n*S*r)+` `color(blue)(S/n)]=` `(n-1)/n*S — color(blue)(S/n)=` `(n-2)/n*S`
3-й месяц:
1 марта	Банк начисляет проценты = `color(green)((n-2)/n*S*r)`
	Долг = `(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)`
2-14 марта	Платим `color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[(n-2)/n*S + color(green)((n-2)/n*S*r)] – [color(green)((n-2)/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = (n-2)/n*S — color(blue)(S/n) = (n-3)/n*S`
(n-1)-й месяц:	Остаток долга = `2/n*S`
1 мартобря	Банк начисляет проценты = `color(green)(2/n*S*r)`
	Долг = `2/n*S + color(green)(2/n*S*r)`
2-14 мартобря	Платим `color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[2/n*S + color(green)(2/n*S*r)] – [color(green)(2/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 2/n*S — color(blue)(S/n) = 1/n*S`
n-й месяц:	Остаток долга = `1/n*S`
1 апребря	Банк начисляет проценты = `color(green)(1/n*S*r)`
	Долг = `1/n*S + color(green)(1/n*S*r)`
2-14 апребря	Платим `color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)`
	Долг = `[1/n*S + color(green)(1/n*S*r)] – [color(green)(1/n*S*r) + color(blue)(S/n)] = 1/n*S — color(blue)(S/n) = 0`

Основные формулы для профильного ЕГЭ

Выпускники, планирующие сдавать профиль, ставятся в более жесткие условия, чем те, кто выбрал базовый уровень. Учитывая то, что они видят перспективу своего дальнейшего обучения по направлениям, тесно или напрямую связанным с математикой, к их знаниям предъявляются повышенные требования. В частности, на официальные справочные материалы особенно рассчитывать не приходится. Все, что в них есть, это 5 тригонометрических тождеств.

Основываясь на данных, опубликованных на сайте ФИПИ, с большой долей вероятности потребуется знание следующих формул для сдачи ЕГЭ по профильной математике:

• правила сокращенного умножения;
• арифметическая и геометрическая прогрессии;
• основы вероятностной теории;
• свойства степеней и логарифмов;
• азы тригонометрии (формулы двойного угла, суммы и разности аргументов; алгоритм преобразования разности и суммы в произведение; обратные функции);
• производная (правила дифференцирования, элементарнее функции и уравнение касательной);
• первообразная;
• двухмерная планиметрия;
• правила нахождения площадей геометрических фигур;
• трехмерная стереометрия.

Опытные учителя и репетиторы собрали все формулы по математике, которые приходилось использовать на ЕГЭ в последние три года:

1. ЕГЭ по математике – формулы для алгебры и начал анализа
2. Формулы ЕГЭ – математика, раздел геометрия

Материалы для скачивания – в формате pdf.

Выученные назубок формулы к ЕГЭ по математике – это только часть пути к успешной сдаче, надо еще научиться правильно применять их. Хорошую практику даст решение сложных задач.

Задания с развернутым ответом: немного статистики

Многие думают, что эта часть ЕГЭ по математике очень сложная. Поэтому ребята, которые не рассчитывают на высокие баллы, даже не приступают к ней. И очень зря! С помощью этих заданий можно заработать дополнительные баллы и побороться за высокое место в рейтинге.

Сейчас будет немного статистики. В среднем около 30% учеников получают полные 2 балла за решение № 12, а вот неравенство № 14 дается хуже, только около 12% с ним справляются на полный балл. Геометрия даётся ещё хуже: стереометрию № 13 полностью решают 2% выпускников, планиметрию (№ 16) менее 5%. А вот с экономической задачей (№ 15) справляются около 15%, а это целых 2 балла! Что касается № 17 и 18, то они даются ещё хуже, но на то они и самые сложные, хотя 1 балл за № 18 по статистике получают около 25% сдающих — там нужно просто привести пример.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Оптика

Прохождение границы двух сред:

Закон отражения:	`alpha=gamma`
Показатель преломления:	`n=c/v`
Закон преломления:	`sinalpha/sinbeta=n_2/n_1`
	`nu_1=nu_2`
	`n_1lambda_1=n_2lambda_2`

Линзы:

Оптическая сила линзы:	`D=1/F`	где F — фокусное расстояние
Формула тонкой линзы:	`1/F=1/d+1/f`	где d — расстояние от линзы до предмета, f — от линзы до изображения
Каждое слагаемое может входить в формулу со знаком плюс или минус:`+1/F` для собирающей линзы`-1/F` для рассеивающей линзы `+1/d` для действительного предмета`-1/d` для мнимого предмета (построенного другой оптической системой)`+1/f` для действительного изображения`-1/f` для мнимого изображения
Линейное увеличение:	`Г=h/H=f/d`	где H — высота предмета, h — высота изображения

Волновая оптика:

Условие максимумов интерференции:	`Deltad=klambda,   kinZZ`
Условие минимумов интерференции:	`Deltad=(2k+1)lambda/2,   kinZZ`
Формула дифракционной решётки:	`dsinvarphi=klambda,   kinZZ`

Какие темы важно знать для ЕГЭ по математике 2022?

В математике, как и в любом предмете, есть опорные темы. Если вы их выучите, будет легче справиться с экзаменом.

Формулы тригонометрии

Очень важно знать формулы тригонометрии и уметь применять их. Хорошая новость: в справочных материалах можно найти несколько тригонометрических формул

Но формул гораздо больше. Я советую не зубрить их, а научиться выводить: приходить к формулам шаг за шагом, опираясь на тождества. Кстати, мы учим выводить формулы на курсах подготовки к ЕГЭ: это полезно, чтобы оказаться на экзамене во всеоружии и ничего не перепутать.

Квадратные уравнения

Эти уравнения мы учимся решать еще в 7 классе. Они встречаются в ЕГЭ по математике постоянно: и как самостоятельные задания, и внутри более сложных уравнений или неравенств. Квадратные уравнения могут встретиться в математических моделях № 8 и № 15, в задачах на геометрию и стереометрию, в задании № 17 с параметром.

Самое главное — хорошо знать универсальные методы решения. Первый — через формулу дискриминанта, второй — через теорему Виета, которая может сэкономить время на экзамене.

Треугольники

Эта замечательная тема, которую проходят в 7 классе — основа основ всей геометрии. Она нужна и для решения стереометрии. и для простейших планиметрических задач. Еще треугольники необходимы, чтобы освоить огромное количество теорем

Выучите все, что с ними связано! Особое внимание обратите на прямоугольные треугольники, которые встречаются чаще остальных — тогда геометрические задачи сразу станут проще

Проценты

Самая нелюбимая тема моих учеников после тригонометрии, которую необходимо хорошо знать. Проценты нужны для реальной математики — это № 8 (с кратким ответом) и № 15 (с развернутым ответом). Понимание этой темы может принести вам 3 первичных балла.

Механика

Кинематика

Равноускоренное движение:
Ускорение:	`a=(v-v_0)/t`
Скорость:	`v=v_0+at`
Путь, пройденный телом:	`S=v_0t+(at^2)/2`	Три варианта формулы
	`S=(v^2-v_0^2)/(2a)`
	`S=(v+v_0)/2t`
`v(t)=S'(t)`
`a(t)=v'(t)=S»(t)`

Тело брошено под углом к горизонту:
Горизонтальная проекция скорости:	`v_x=v_0*cosalpha=const`	Горизонтальная скорость постоянна
Вертикальная проекция скорости:	`v_y=v_0*sinalpha`	Вертикальная скорость меняется с ускорением `g`

Движение по окружности:
Центростремительное ускорение:	`a_(цс)=v^2/R=omega^2R`
Угловая скорость:	`omega=(Deltavarphi)/(Deltat)=(2pi)/T=2pinu`
Связь линейной и угловой скоростей:	`v=omegaR`

Динамика

Плотность:	`rho=m/V`
Второй закон Ньютона:	`vec F=mvec a`	где `vec F` — равнодействующая всех приложенных сил
Гравитационное притяжение:	`F=G(m_1m_2)/R^2`
1-я космическая скорость:	`v_I=sqrt(gR)=sqrt((GM)/R)`
2-я космическая скорость:	`v_(II)=sqrt(2)*v_I`
Закон Гука:	`F=-kx`
Сила трения:	`F_(тр)=muN`
Давление:	`p=F/S`

Статика

Момент силы:	`M=F*l`
Условие равновесия:	`{(M_1+M_2+…=0),(vec F_1+vec F_2+…=0):}`	Моменты «по часовой стрелке» берём со знаком плюс, моменты «против часовой» берём с минусом
Правило рычага:	`F_1*l_1=F_2*l_2`	это частный случай условия равновесия
Давление жидкости:	`p=rhogh`
Сила Архимеда:	`F_A=rho_жgV_т`

Импульс и энергия

Импульс:	`vec p=mvec v`
Изменение импульса:	`Deltavec p=vec FDeltat`
Работа силы:	`A=F*l*cosalpha`
Мощность:	`P=A/t`
КПД:	`eta=A_(полезная)/A_(затраченная)`
Кинетическая энергия:	`E_к=(mv^2)/2`
Потенциальная энергия тяжести:	`E_п=mgh`
Потенциальная энергия пружины:	`E_п=(kx^2)/2`

Механические колебания и волны

`x(t)=Asin(omegat+varphi_0)`
`v(t)=x'(t)=Aomegacos(omegat+varphi_0)`
`a(t)=v'(t)=-Aomega^2sin(omegat+varphi_0)`
Период колебаний:	`T=1/nu=(2pi)/omega`
Период математического маятника:	`T=2pisqrt(l/g)`
Период пружинного маятника:	`T=2pisqrt(m/k)`
Скорость волны:	`v=lambdanu`

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?

Помимо очевидного, что для сдачи профиля нужно уметь складывать, вычитать и умножать, необходимы еще некоторые знания. Все это проходится в течение школы, но повторить или заполнить пробелы перед экзаменом нужно обязательно. Вот, что пригодится:

• Формулы сокращенного умножения;
• Арифметическая и геометрическая прогрессии;
• Вероятность;
• Свойства степеней;
• Свойства логарифмов;
• Тригонометрия;
• Производные;
• Первообразные.

Список внушительный, но вполне реальный, чтобы его выучить. Для того, чтобы лишний раз не гуглить в интернете «формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень», приложим их ниже. А начнем по порядку из списка выше.

Формулы сокращённого умножения

Первые в нашем списке – формулы сокращенного умножения – нужны для решения задания №9 из профильного уровня. Вам встретятся задачи на преобразование выражений, поэтому умение это делать будет вознаграждено баллами.

Вот то, что будет вашим спасательным кругом:

Есть те, которые знать не обязательно. Но чем большими знаниями вы будете обладать, тем легче вам будет на экзамене. Вот они:

Умея применять эти формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень вам уже будет решить легче. Но это далеко не все, что нужно знать, чтобы получить сто баллов за ЕГЭ.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Для задания №19 нужно знание арифметической и геометрической прогрессии. Прикладываем формулы для ЕГЭ по математике, профильный уровень которой невозможен без их знания:

Вероятность

Вероятность встречается в задании №4, а ведь в самом начале обычно ставят легкие задания. Тем не менее, придется применять знания, которые представлены ниже:

Перейдем к свойствам степеней, ведь в них тоже есть, что запомнить.

Свойства степеней

Эти свойства нужно знать и для того, чтобы решить «базу», так что гуманитарии тоже могут обратить внимание на это:

Как вы видите, запоминать не очень много, зато формулы не самые простые. Но есть еще сложнее, и сейчас узнаем, какие они.

Формулы логарифмов лучше всего начать с их определения:

Теперь перейдем к более сложному:

Тригонометрия

Тригонометрические уравнения встречаются в задании №13. Для того, чтобы заработать баллы, нужно знать это:

Но это еще не все. Есть такая вещь, как основное тригонометрическое тождество. Вот оно:

Формулы двойного угла:

Формулы суммы и разности аргументов:

Преобразование суммы и разности в произведение:

Формулы половинного аргумента:

На этом с тригонометрией все.

Производные

Начнем с основных правил дифференцирования:

Уравнение касательной: 

Производные элементарных функций:

Закончим эту статью первообразными.

Тригонометрия

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками. $2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

Формулы для ОГЭ-2022 по математике

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`
`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`
`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`	Эти две формулы заучивать не обязательно, но желательно
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:	`P(A)=m/n`	m — число благоприятных событийn — общее число событий
События происходят A и B происходят одновременно	`A*B`
Независимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B)`	Когда вероятность одного события (А) не зависит от другого события (B)
Зависимые события:	`P(A*B)=P(A)*P(B|A)`	`P(B|A)` — вероятность события B при условии, что событие A наступило
Происходит или событие A, или B	`A+B`
Несовместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)`	Когда невозможно наступление обоих событий одновременно, т.е. `P(A*B)=0`
Совместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`	Когда оба события могут наступить одновременно

Свойства степеней

`a^0=1`	`a^1=a`
`a^(-1)=1/a`	`a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)`	`a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)`	`a^m/a^n=a^(m-n)`
`(a*b)^n=a^n*b^n`	`(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)`	`a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Тригонометрия:	`sinA=a/c`   `cosA=b/c`
	`text(tg)A=sinA/cosA=a/b`
Теорема косинусов:	`c^2=a^2+b^2-2ab*cosC`
Теорема синусов:	`a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R`	где R — радиус описанной окружности
Уравнение окружности:	`(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2`	где `(x_0;y_0)` — координаты центра окружности
Соотношение вписанного и центрального углов:	`beta=alpha/2=(uualpha)/2`
Описанная окружность, треугольник:	`R=(abc)/(4S)`		См. также теорему синусов. Центр лежит на пересечении срединных перпендикуляров.
Вписанная окружность, треугольник:	`r=S/p`		где p — полупериметр многоугольника. Центр лежит на пересечении биссектрис.
Описанная окружность, четырёхугольник:	`alpha+gamma=beta+delta=180^circ`
Вписанная окружность, четырёхугольник:	`a+c=b+d`
Свойство биссектрисы:	`a/x=b/y`
Теорема о пересекающихся хордах:	`AM*BM=CM*DM`		Эти теоремы необходимо уметь выводить
Теорема об угле между касательной и хордой:	`alpha=1/2uuAB`
Теорема о касательной и секущей:	`CM^2=AM*BM`
Теорема об отрезках касательных:	`AB=AC`

Площади фигур: